Naked Statistics é o livro mais interessante sobre a ciência mais chata

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 04:08

Quem disse que a estatística é uma ciência enfadonha e inútil? Charles Wheelan argumenta de forma convincente que isso está longe de ser o caso. Hoje publicamos um trecho de seu livro sobre como ganhar um carro, não uma cabra, usando estatísticas, e entendemos que a intuição pode enganar você.

The Monty Hall Riddle

O mistério de Monty Hall é um problema famoso na teoria da probabilidade que confundiu os participantes de um game show chamado Let’s Make a Deal, ainda popular em vários países, que estreou nos Estados Unidos em 1963. (Lembro-me de todas as vezes que assistia a esse show quando criança, quando não ia à escola por motivo de doença.) Na introdução do livro, já indiquei que esse game show pode ser interessante para os estatísticos. No final de cada uma de suas edições, o participante que chegou à final ficou com Monty Hall em frente a três grandes portas: Porta nº 1, Porta nº 2 e Porta nº 3. Monty Hall explicou ao finalista que atrás de uma dessas portas foi um prêmio muito valioso - por exemplo, um carro novo e uma cabra atrás dos outros dois. O finalista tinha que escolher uma das portas e pegar o que estava por trás dela. (Não sei se havia pelo menos uma pessoa entre os participantes do programa que queria comprar uma cabra, mas por uma questão de simplicidade, vamos presumir que a grande maioria dos participantes sonhava com um carro novo.)

A probabilidade inicial de vitória é bastante fácil de determinar. Existem três portas, duas escondem uma cabra e a terceira esconde um carro. Quando um participante do show fica em frente a essas portas com Monty Hall, ele tem uma em três chances de escolher a porta atrás da qual o carro está localizado. Mas, como observado acima, há uma pegadinha em Let’s Make a Deal que imortalizou este programa de TV e seu apresentador na literatura sobre teoria da probabilidade. Depois que o finalista do show aponta para uma das três portas, Monty Hall abre uma das duas portas restantes, atrás da qual há sempre uma cabra. Em seguida, Monty Hall pergunta ao finalista se ele deseja mudar de ideia, ou seja, abandonar a porta fechada anteriormente selecionada em favor de outra porta fechada.

Digamos, a título de exemplo, que o participante apontou para a porta # 1. Então Monty Hall abriu a porta # 3, atrás da qual a cabra estava escondida. Duas portas, porta # 1 e porta # 2, permanecem fechadas. Se o valioso prêmio estivesse atrás da Porta nº 1, o finalista o teria ganho e, se fosse atrás da Porta nº 2, ele teria perdido. É neste ponto que Monty Hall pergunta ao jogador se ele deseja mudar sua escolha inicial (neste caso, abandone a Porta # 1 em favor da Porta # 2). Você vai, é claro, lembrar que ambas as portas ainda estão fechadas. A única informação nova que o participante recebeu foi que o bode acabou atrás de uma das duas portas que não escolheu.

O finalista deve abandonar a escolha inicial em favor da Porta # 2?

Eu respondo: sim, deveria. Se ele mantiver a escolha original, a probabilidade de ganhar um prêmio valioso será de ⅓; se ele mudar de ideia e apontar para a porta nº 2, a probabilidade de ganhar um prêmio valioso será de ⅔. Se você não acredita em mim, continue lendo.

Admito que essa resposta está longe de ser óbvia à primeira vista. Parece que qualquer das duas portas restantes que o finalista escolher, a probabilidade de receber um prêmio valioso em ambos os casos é ⅓. Existem três portas fechadas. No início, a probabilidade de que um prêmio valioso esteja escondido atrás de qualquer um deles é ⅓. A decisão do finalista de mudar sua escolha em favor de outra porta fechada faz alguma diferença?

Claro, já que o problema é que Monty Hall sabe o que está atrás de cada porta. Se o finalista escolher a porta # 1 e realmente houver um carro atrás dela, Monty Hall pode abrir a porta # 2 ou a porta # 3 para revelar a cabra escondida atrás dela.

Se o finalista selecionar a Porta 1 e o carro estiver atrás da Porta 2, Monty Hall abrirá a Porta 3.

Se o finalista apontar para a Porta 1 e o carro estiver atrás da Porta 3, Monty Hall abrirá a Porta 2.

Ao mudar de ideia depois que o apresentador abre uma das portas, o finalista ganha a vantagem de escolher duas portas em vez de uma. Tentarei convencê-lo da correção dessa análise de três maneiras diferentes.

O primeiro é empírico. Em 2008, o colunista do New York Times John Tyerney escreveu sobre o fenômeno Monty Hall. Depois disso, a equipe da publicação desenvolveu um programa interativo que permite que você jogue este jogo e decida de forma independente se muda sua escolha inicial ou não. (O programa prevê até cabras e carrinhos que aparecem atrás das portas.) O programa registra seus ganhos no caso de você alterar sua escolha inicial e no caso em que você não esteja convencido. Paguei uma de minhas filhas para jogar este jogo 100 vezes, mudando sua escolha original a cada vez. Eu também paguei o irmão dela para jogar o jogo 100 vezes, mantendo a decisão original a cada vez. A filha venceu 72 vezes; seu irmão 33 vezes. Cada esforço foi recompensado com dois dólares.

Evidências de episódios do jogo Let’s Make a Deal mostram o mesmo padrão. De acordo com Leonard Mlodinov, autor de The Drunkard's Walk, os finalistas que mudaram sua escolha inicial tinham duas vezes mais chances de vencer do que aqueles que não estavam convencidos.

Minha segunda explicação para esse fenômeno é baseada na intuição. Digamos que as regras do jogo mudaram um pouco. Por exemplo, o finalista começa escolhendo uma das três portas: Porta # 1, Porta # 2 e Porta # 3, conforme planejado originalmente. Porém, então, antes de abrir qualquer uma das portas atrás das quais a cabra está escondida, Monty Hall pergunta: "Você concorda em desistir de sua escolha em troca de abrir as duas portas restantes?" Portanto, se você escolheu a Porta # 1, pode mudar de ideia em favor da Porta # 2 e da Porta # 3. Se você apontou para a Porta # 3 primeiro, pode selecionar a Porta # 1 e a Porta # 2. E assim por diante.

Esta não seria uma decisão particularmente difícil para você: é bastante óbvio que você deve desistir da escolha inicial em favor das duas portas restantes, pois isso aumenta as chances de vitória de ⅓ para ⅔. O mais interessante é que é isso, em essência, que Monty Hall lhe oferece em um jogo real, depois de abrir a porta atrás da qual o bode se esconde. O fato fundamental é que, se você tivesse a oportunidade de escolher duas portas, uma cabra estaria escondida atrás de uma delas de qualquer maneira. Quando Monty Hall abre a porta atrás da qual está a cabra, e só então pergunta se você concorda em mudar sua escolha inicial, aumenta significativamente suas chances de ganhar um prêmio valioso! Basicamente, Monty Hall está lhe dizendo: "As chances de um prêmio valioso se esconder atrás de uma das duas portas que você não escolheu da primeira vez são ⅔, que ainda é mais do que ⅓!"

Você pode imaginar assim. Digamos que você apontou para a Porta # 1. Depois disso, Monty Hall lhe dá a oportunidade de abandonar a decisão original em favor da Porta # 2 e da Porta # 3. Você concorda e tem duas portas à sua disposição, o que significa que você tem todos os motivos esperam ganhar um prêmio valioso com probabilidade de ⅔, não ⅓. O que teria acontecido se neste momento Monty Hall tivesse aberto a porta 3 - uma das "suas" portas - e houvesse uma cabra atrás dela? Esse fato abalaria sua confiança em sua decisão? Claro que não. Se o carro estivesse escondido atrás da porta 3, Monty Hall abriria a porta 2! Ele não te mostraria nada.

Quando o jogo é jogado de acordo com um cenário de simulação, Monty Hall realmente dá a você uma escolha entre a porta que você especificou no início e as duas portas restantes, uma das quais pode ser um carro. Quando Monty Hall abre a porta atrás da qual a cabra está escondida, ele está simplesmente fazendo um favor a você, mostrando qual das outras duas portas não é o carro. Você tem as mesmas probabilidades de vencer em ambos os cenários a seguir.

1. Selecionando a porta nº 1 e concordando em “trocar” para a porta nº 2 e porta nº 3 antes mesmo de qualquer porta ser aberta.
2. Selecionando a Porta # 1 e concordando em "trocar" para a Porta # 2 depois que Monty Hall mostrar a você a cabra atrás da Porta # 3 (ou escolher a Porta # 3 depois que Monty Hall mostrar a você a cabra atrás da Porta # 2).

Em ambos os casos, abandonar a decisão original dá a você a vantagem de duas portas sobre uma, e você pode, portanto, dobrar suas chances de ganhar de ⅓ para ⅔.

Minha terceira opção é uma versão mais radical da mesma intuição básica. Digamos que Monty Hall peça que você escolha uma das 100 portas (em vez de uma das três). Depois de fazer isso, diga apontando para a porta 47, ele abre as 98 portas restantes, que revelarão as cabras. Agora apenas duas portas permanecem fechadas: a sua porta nº 47 e outra, por exemplo, a porta nº 61. Você deveria desistir de sua escolha inicial?

Claro que sim! Há 99% de chance de o carro estar atrás de uma das portas que você não escolheu a princípio. Monty Hall fez a gentileza de abrir 98 dessas portas, não havia nenhum carro atrás delas. Portanto, há apenas 1 chance em 100 de que sua escolha inicial (porta 47) seja correta. Ao mesmo tempo, existe uma chance de 99 em 100 de que sua escolha inicial esteja errada. Se sim, então o carro está localizado atrás da porta restante, ou seja, a Porta No. 61. Se você quiser jogar com a probabilidade de ganhar 99 vezes em 100, então você deve "mudar" para a Porta No. 61.

Resumindo, se você alguma vez tiver que jogar Let’s Make a Deal, você definitivamente precisará voltar atrás em sua decisão original quando Monty Hall (ou quem quer que o substitua) lhe der uma escolha. Uma conclusão mais universal desse exemplo é que seus palpites intuitivos sobre a probabilidade de certos eventos às vezes podem enganá-lo.